今天又要摸鱼了。。。
早在小学时我们就学过自然数的定义：
自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。
换言之，自然数即“自然”数。
这话拿来糊弄小学生还则罢了，现在来看？？？黑人问号？？？
有感于白学的号召，今天来重拾一波被我丢下许久的数学//对不起请蹂躏我
首先给出数论框架的自然数定义，即著名的皮亚诺公理系统
//因为markdown对公式不友好。。我tm。。。只好用语言描述了。。。
- PA1:1是自然数。
- PA2:对于任意自然数n,其后继数n’均为自然数。
- PA3:对于任意自然数n,n’!=1均成立。
- PA4:对于任意自然数m,n,若m’=n’,则m=n。
- PA5:假设对自然数n的谓词P(n)而言，下面的(a)和(b)都成立:
(a)P(1);
(b)对于任意自然数k,P(k)成立，则P(k’)成立。
此时对于任意自然数n,P(n)成立。
一点微小的说明:
- PA1和PA3定义了自然数的元。此处采用经典式以1为元，也可以改为0。
- PA2和PA4保证了自然数列对唯一的节点不会有两条等长子列相交。//这个表述好别扭啊
- PA5即数学归纳法。
然后我们定义加法公理和乘法公理：
- 对于任意自然数n,n+1=n’。
- 对于任意自然数m,n,m+n’=(m+n)’。
- 对于任意自然数n,n*1=n。
- 对于任意自然数m,n,mn’=(mn)+m。
这样，我们只需要分别定义不同的自然数值为2,3,4等即可。
那么我们如何以集合论的观点看待自然数呢？
首先改写皮亚诺公理系统：
- 初始元e是集合M的元素。
- 集合M对映射F封闭。
- e无法经映射F得到。
- F是单射。
A是M的子集且e是A的元素且A在F下封闭，则A=M。//集合的任何子集不能完成该集合的全部功能
定义新运算：A的后继=A并{A}；
归纳集：A对后继运算封闭且空集是A的元素(不是子集)。
传递集：A中的任何元素中的元素仍然是A的元素。
定义：自然数集是最小的归纳集。同时是传递集。
同理使用递归方法就可以定义自然数的加法和乘法了emmm。
第二数学归纳法:
(a)P(0)成立。
(b)对于任意a<b,P(a)成立，那么P(b)成立。
后面一步常常分解为两种情况：
能应用和一般的归纳法相似的方法的后继序数（有直接前驱的序数）。没有前驱序数的极限序数可以通过将极限序数b看成所有小于b的序数的极限来处理：假定在所有的a<b中P(a)成立，取所有这些情况的极限（通常通过并集公理实现），则证明了P(b)。
参考：
数学女孩by结城浩，